Algebra lineare Esempi

$5 x_{1} - 4 x_{2} = - 8$ $3 x_{1} - 2 x_{2} = - 2$

Passaggio 1

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 & - 8 \\ 3 & - 2 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{5}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{5}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{- 4}{5} & \frac{- 8}{5} \\ 3 & - 2 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{8}{5} \\ 3 & - 2 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{8}{5} \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 2 - 3 (- \frac{4}{5}) & - 2 - 3 (- \frac{8}{5}) \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{8}{5} \\ 0 & \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \end{array}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{5}{2}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{5}{2}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{8}{5} \\ \frac{5}{2} \cdot 0 & \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} & \frac{5}{2} \cdot \frac{14}{5} \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{8}{5} \\ 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{5} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.4.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{5} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{5} \cdot 0 & - \frac{4}{5} + \frac{4}{5} \cdot 1 & - \frac{8}{5} + \frac{4}{5} \cdot 7 \\ 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x_{1} = 4$

$x_{2} = 7$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(4, 7)$